Hoy.....MATRICES!!!!!

Las Matrices:

Introducción

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...

En Álgebra lineal, las matrices representan aplicaciones lineales(también llamadas funciones lineales, transformaciones lineales u operadores lineales).

Las aplicaciones lineales son  funciones que se establecen entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar.

La teoría de matrices es un rama de las matemáticas que se centra en el estudio de marices.

Definición de matriz

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos a_ij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

                                                                         

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(a_ij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a₂₅ será el elemento de la fila 2 y columna 5.

Matrices Iguales:

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales, es decir que:

Dadas  A =(a_ij)  y B=(b_ij) con i=1,2, …, m=1,2, …, n  si A=B   entonces todo elemento   a_ij =b_ij

Tipos de Matrices:

Lo tipos de matrices que existen, dependen de las características de los elementos que la conforman  y de la dimensión de la misma.

Podemos distinguir algunas matrices especiales, entre ellas:

Matriz Nula. Es la matriz en la cual todos los elementos son ceros. Se la designa N o  0.  Existe una matriz nula para cada tipo de matriz.

 Matriz Fila. Es la matriz que tiene una fila y n columnas, o sea es de orden 1xn.

                                                                     

Matriz Columna. Es la matriz que tiene m filas  y una columna o sea es de orden mx1. A toda matriz fila o columna se la denomina vector.

Matriz Traspuesta: es aquella matriz que se obtiene de intercambiar las filas por las columnas.

Sea A_nxm=(a_ij) se llama traspuesta de A y se  la simboliza A^t_mxn, a la matriz (a_ji).

Matriz Cuadrada es aquella matriz en la cual el número de filas es igual al número de columnas, es decir que es de orden nxn, o simplemente decimos de orden n. Simbólicamente se expresan  A_nxn.

                                                 
                              
                         

Aquellos elementos en donde coincide la posición de la fila con la columna constituyen la diagonal de la matriz, es decir  cuando i=j( a11, a22, a33, …, ann).

Matriz Identidad o Unidad: es aquella matriz cuadrada cuya diagonal principal está formada por 1  y el resto de los elementos son 0. Se simboliza I
 
                                                      
                                    

Matriz Diagonal :es una matriz cuadrada en la cual los elementos que no pertenecen a la diagonal son nulos.

                                     

                               

Matriz Escalar :es toda matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son iguales a un escalar

                                                         

                                                

Matriz Triangular Superior: es toda matriz cuadrada tal que los elementos situados por debajo de la diagonal principal son nulos, es decir que si i>j  entonces a_ij=0.

                                                  

Matriz Triangular Inferior: es toda matriz cuadrada tal que los elementos situados por enciam de la diagonal principal son nulos, es decir que si i<j entonces a_ij=0

                                                                                                                                                  

 

Matriz simétrica: es aquella matriz cuadrada que es igual a su traspuesta, es decir que A=A^t.

Matriz antisimétrica: es aquella matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta, es decir que A=-A^t

Matriz idempotente: es aquella matriz cuadrada  cuyo cuadrado es igual a sí misma, es decir que
 A. A= A

Matriz involutiva:  es aquella matriz cuyo cuadrado es igual a la matriz identidad, es decir que
 A.A= I

Operaciones  Elementales entre matrices:

 Las operaciones que se pueden hacer con matrices provienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicaciones en álgebra lineal. De ese modo las operaciones, o su forma particular de ser implementadas, no son únicas.

Adición de Matrices

La suma de matrices se puede realizar si las matrices consideradas poseen la misma dimensión (mxn), luego sólo es cuestión de sumar las componentes de las matrices dadas respetando la posición de cada elemento. La suma de matrices es otra matriz que posee el mismo orden de las matrices dadas.

 En símbolos, Si A y B son de orden mxn, entonces A+B=(a_ij)+(b_ij)=(c_ij), en donde cada c_ij=a_ij+b_ij


 

                    

 En cuanto a la resta de Matrices, sólo basta recordar la definición de sustracción, es decir que se trata de sumar a la primer matriz la opuesta de la segunda matriz.

 Simbólicamente: si A y B tienen el mismo orden, entonces  A-B=A+(-B)=C=(c_ij), en donde cada    c_ij=a_ij –b_ij.

Aún sigues sin entender? aquí tienes un video que te ayudará http://www.youtube.com/watch?v=TrOZjYUcZ1Q

Multiplicación de un escalar por una matriz:

La multiplicación de un escalar por una matriz de orden mxn, es otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen multiplicando el escalar por cada uno de los elementos de la matriz dada.
Simbólicamente:     si   A= (a_ij )  y k es un número real, entonces k.A = k.( a_ij ) = (k .a_ij )

Multiplicación de Matrices

La multiplicación de matrices sólo es posible cuando la columna de la primera matriz  coincide con la fila de la segunda matriz. Luego, para resolver la multiplicación se debe realizar la sumatoria de los productos de los elementos  que se encuentren en la misma posición.

La matriz producto tendrá la cantidad de filas que posee la primera matriz y la cantidad de columnas que posee la segunda matriz.

En símbolos: si A_mxp y B_pxn, A.B_mxn=(C_ij) en donde  cada c_ij=∑ ^p_k=1  a_ik.b_kj , con C_mxn

Ejemplo: